平面系统中心和焦点判定问题若干注释,本论文为免费优秀的关于焦点判定问题论文范文资料，可用于相关论文写作参考。
焦点判定问题论文参考文献：
摘 要： 常微分方程理论是数学的一个十分重要的学科,其主要任务是研究解的性态,其中平面系统中心和焦点的判定问题是常微分方程定性理论的重要内容之一.对于高维（包括无穷维）系统,在一定条件下可以通过中心流形定理降维至二维自治系统,因此,平面系统中心和焦点的判定问题是最基本的内容.微分方程定性理论著作,都会不同程度地论过这一问题.针对这一问题进行总结、思考和研究, 对已有概念做一些引伸,对已有结果给出新的认识和证明,提出一些新的结论.这些内容都很难在现有文献中找到.
关键词： Poincaré映射； 中心； 可积性； 首次积分； 周期函数
中图分类号： O 175.12文献标识码： A文章编号： 10005137（2013）06056515
收稿日期： 20131012
基金项目： 国家自然科学基金（11271261）
作者简介： 韩茂安（1961-）,男,上海师范大学数理学院教授.1Poincaré映射和中心、焦点概念
考虑二维Ck自治系统dxdt等于f（x,y）,dydt等于g（x,y）,（1）其中f,g为Ck光滑函数,k≥1.设原点为（1）的孤立奇点,则f（0,0）等于g（0,0）等于0.如所周知,如果矩阵 （f,g）（x,y）（0,0）有特征值α±β i,β≠0,则原点为（1）的焦点、中心奇点或中心-焦点.对线性系统来说,焦点和中心都有明确的定义,对非线性系统来说,大多常微分方程书中都没有给出明确的定义.如果矩阵 （f,g）（x,y）（0,0）有零特征值,则原点也有可能是焦点或中心,一般是从几何相图上来理解这些概念,但一般书中也没有给出明确的定义.为了引出一般系统（1）以原点为焦点或中心的定义,先从Poincaré映射入手.
设在原点的某邻域内有一条通过原点的Cr上述讨论表明,为了研究函数P在含零的小区间上的光滑性,不妨把光滑曲线L取在x轴上.事实上,情况还不是这么简单,因为还要对（1）引入坐标变换,把（1）化为较标准的形式,这时候曲线L也会随之而变.不过,这些过程都不会引起实质性的麻烦.
下面对初等奇点的情况讨论Poincaré映射的光滑性,本文最后一节作者将对幂零奇点情况讨论Poincaré映射的光滑性及其解析性质,以及涉及幂零焦点稳定性和幂零中心存在性等问题.
设矩阵（f,g）（x,y）（0,0）的特征值为一对共轭复根α± β i,且β≠0.则经过一个线性变换可把（1）化成下述形式：dxdt等于α x+β y+f1（x,y）,dydt等于-β x+α y+g1（x,y）,（5）其中f1和g1为非线性项,且为Ck函数.如果对方程（1）来说,把曲线L取在x轴上,由于直线在线性变换之下的像还是直线,那么对方程（5）来说曲线L就位于过原点的某一直线上,又注意到方程（5）的线性部分在任何旋转变换下是不变的,于是（5）的曲线L就不妨取在x轴上,此时,按照定义1.1系统（5）就有一个Poincaré映射P（a）,其几何意义就是（5）从点（a,0）出发的正半轨绕原点一周后和x轴交点的横坐标,其中a≠0.此外,补充定义P（0）等于0.当然,这个映射P是存在的,利用平面系统有关经典定理可知,利用下面的方法也能独立地获得这一结论.
用极坐标把（5）化为一个一维周期系统,并利用这个周期系统来研究映射P的存在性和光滑性等.
本节之开始已引入了定义于曲线截线上的Poincaré映射,一般教材上都是取直线截线（特别是在焦点型奇点附近）来讨论焦点的稳定性和阶数.因为直线在非线性变换下之像必是曲线,因此取曲线截线是必要的.焦点的稳定性和阶数跟截线的选取无关,它们在变量变换下也不改变.这些证明详见文献[5]和[6].
2初等焦点的稳定性和后继函数的性质
考虑系统（5）.按照定义1.2,如果存在r0>0使对一切a∈（0,r0）有P（a）-a<0（>0或等于0）,则称原点为系统（5）的稳定焦点（不稳定焦点或中心）,其中P为上节所引入的（5）的Poincaré映射.像这种利用Poincaré映射定义的稳定性称为轨道稳定性.另一方面,已知原点又可视为（5）的零解,则可以讨论它在Lyapunov意义下的稳定性.另外,一维周期方程（8）的零解r等于0也有Lyapunov意义下的稳定性问题.
这些稳定性之间的关系如下：
定理 2.1设f1,g1为Ck函数,k≥1,则对Ck系统（5）, 下列几点等价：
（1） 原点为（5）的稳定焦点（依照定义1.2的轨道稳定）；
（2） 原点为系统（5）的焦点且是稳定的（在Lyapunov意义下）；
（3） 原点为系统（5）的渐近稳定零解（在Lyapunov意义下）；
（4） 解r等于0为一维周期系统（8）的渐近稳定零解（在Lyapunov意义下）.
文献[4]和[7]详细证明了这一定理.
由上述定理可知,至少有4种方式来定义焦点的稳定性,且这4种方式是彼此等价的.本文作者用的是定理所列的第一种方式.文献[4]用的是第二种方式.
现在,引入后继函数或位移函数,即d（a）等于P（a）-a,于是,如果对充分小的a>0有d（a）<0（>0）,这等价于原点就是稳定（不稳定）焦点,则利用轨线的不相交性,可知此时对充分小的-a>0应有d（a）>0（<0）.因此,如果原点是焦点,则对充分小的|a|>0函数ad（a）恒正或恒负,也就是说ad（a）是一个定号函数.详之,如果原点是稳定焦点（不稳定焦点）,则函数ad（a）是定正的（定负的）.由此可知,如果d（a）等于dmam+o（am）, dm≠0,m≤ k,则下标m必为奇数（即m等于2l+1）,且原点是稳定的当且仅当dm<0.此时称原点是l阶焦点,并称dm为原点的第l个焦点量.
结论：关于本文可作为焦点判定问题方面的大学硕士与本科毕业论文问题焦点论文开题报告范文和职称论文论文写作参考文献下载。
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