函数极限保号性质其应用,本论文可用于函数论文范文参考下载，函数相关论文写作参考研究。
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摘 要： 函数极限的保号性质在结合导数和积分研究函数的其他性质方面有着广泛的应用,在应用中揭示了函数极限保号性的本质.
关键词： 保号性；极限；函数
中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：2095-8153（2015）02-0100-03
函数极限除唯一性、局部有界性、迫敛性和四则运算外,还有两个重要的性质,即局部保号性和保不等式性.两个性质均阐述了函数极限之间的大小和函数本身之间的大小间存在的因果关系,其中前者是由极限的大小推出函数的大小,即由极限的符号“保证”函数在局部的符号,故名局部保号性.后者则相反,结合极限的四则运算,可看成前者的推论.具体叙述如下：
定理（局部保号性）若[limx→af（x）等于A>0],则[?δ>0],当[x∈u0（a,δ）]时,有：
1. [f（x）>0]
2. [?r∈（0,A）,f（x）>r>0].
推论1 若[limx→af（x）等于A],[limx→ag（x）等于B],且[A>B],则[?δ>0],当[x∈u0（a,δ）]时,有：[f（x）>g（x）].
推论2 若[limx→af（x）等于A],[limx→ag（x）等于B],且[?δ>0],当[x∈u0（a,δ）]时,[f（x）>g（x）],则[A≥B][1].
以上三条性质统称函数极限的局部保号性.它们在结合导数和积分研究函数的其他性质方面有着广泛的应用,下举例说明.
1 证明达布定理及其推论
例1 （达布定理）若函数[f]在[[a,b]]上可导,且[f′+（a）≠f′_（b）],[k]为介于[f′+（a）和f′_（b）]之间的任一实数,则至少存在一点[ξ∈（a,b）],使得[f′（ξ）等于k][2].
证明 作辅助函数[F（x）等于f（x）-kx],不妨设[f′+（a） 由函数极限的局部保号性得： [?δ1>0][,使得?x∈（a,a+δ1）,有F（x）-F（a）x-a<0] 即当[x∈（a,a+δ1）]时,有[F（x） 同理可知： [?δ2>0,使得当x∈（b-δ2,b）时,有F（x） 另一方面,[F（x）]在[[a,b]]上可导,故在[[a,b]]上连续从而有最大值和最小值.而式（1）、式（2）说明[F（x）]的最小值一定不在两端点处取得,即在[（a,b）]内的一点[ξ]处[F（x）]取得最小值从而也是极小值.由费马定理知,[F′（ξ）等于0],即[f′（ξ）等于k].得证. 注1 极限值和零之间的大小比较是利用保号性质的先决条件.本题通过构造辅助函数,巧妙地把导数值和某常数之间的比较转化为导数值和零之间的比较,而函数在端点处的导数就是某极限表达式,很自然就想到利用保号性质将极限和零的大小转化为求极限的式子和零之间的大小,这正是“保号”的意义所在. 注2 达布定理的推论“若函数[f]在[[a,b]]上可导,[f′+（a）和f′_（b）异号],则至少存在一点[ξ∈（a,b）],使得[f′（ξ）等于0]”可仿此证明,此处不再赘述. 2 在判定函数的极值方面 例2 设函数[f]有二阶连续导数,且[limx→0f（x）-21-cosx等于0],[limx→0f″（x）ln（1+x2）等于1],则： （A） [f（x）在x等于0处取得极大值]； （B） [f（x）在x等于0处取得极小值]； （C）[（0,f（0））是曲线y等于fx的拐点]； （D）[f（0）]不是[f（x）]的极值,[0,f0]也不是曲线[y等于f（x）的拐点][3]. 分析 此题条件已知两个极限值,可分别利用不定式极限的性质和连续函数极限的保号性得到关于[f]和[f]的一阶、二阶导数的相关信息. 解：由[limx→0f（x）-21-cosx等于0]和函数及一阶导的连续性知：[f（0）等于2]且[f′（0）等于0] 由[limx→0f″（x）ln（1+x2）等于1]及二阶导的连续性知：[f″（0）等于0]. 这不足以说明[fx]在[x等于0]点取得极值,也不能说明[0, f0]是[fx]的拐点.又由于极限值1>0,说明在[x等于0]的某空心邻域内[f″（x）>0],这说明[0,f0]不是[f（x）]的拐点.另一方面,由[f″（x）>0]知[f′（x）]单调递增,结合[f′（0）等于0],说明在[x等于0]的两侧[f′（x）]的符号不一致,且是由负号变为正号,从而函数的单调性是由单调递减变为单调递增.由极值的第一充分条件可判断[f（x）]在[x等于0]处取得极小值[4]. 故（B）是正确答案. 注 此题极易出错的地方有二,一是由[f″（0）等于0]判断[x等于0]是函数的拐点.在可导的前提下,二阶导为零只是拐点的必要条件.二是由极限值1>0判断[f″（0）>0],根据极值的第二充分条件判断[f（0）]为极小值,这也是不对的.必须注意函数极限的局部保号性指的是在对应点的空心领域. 类似的问题还有： 例3 已知[limx→af（x）-f（a）（x-a）k等于m]（[k∈z+,m≠0]）.试讨论[x等于a]是不是函数的极值点,如果是,那么是极大值还是极小值点? 分析 此题已知条件涉及两个变量,其中[m]可从正负方面讨论,[k]可从奇偶方面讨论,再结合极限的保号性质,就可知[f（x）]在[x等于a]的左右领域和[f（a）]之间的大小关系,从而利用极值的第一充分条件即可判断. 结论：关于函数方面的论文题目、论文提纲、高中数学函数论文开题报告、文献综述、参考文献的相关大学硕士和本科毕业论文。 幂函数的图像和性质五用 数列极限和函数极限的异同 函数性质的综合运用 重点突破:函数的基本性质
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