数学竞赛中平面几何解题小技巧,本文关于平面几何论文范文,可以做为相关论文参考文献,与写作提纲思路参考。
平面几何论文参考文献：
摘 要：当前,全国高中各学科联合竞赛已成為普遍现象,它不仅能发挥的学生们的特长,也是各类高校自主招生的一个参考依据.对于那些学有余力的理科学生来说,积极参和数、理、化、生的全国联合竞赛更是他们展现能力的一个舞台.笔者作为数学竞赛的参和者,从平面几何学习和竞赛中总结一些个人心得,以期对后来的参和者得到一些帮助,并希望和大家共同学习和交流.
关键词：全国高中；数学；联合竞赛；平面几何
在平面几何中,有着一个非常重要的定理,梅涅劳斯定理,即 （一种基本形式）.这个定理在平面几何中用处之广不
必多说,许多同学把其当作一个非常基础的定理,因为通过它可以推导出帕斯卡定理等.但是梅氏定理真的是那么基本吗?我看并不是这样,梅氏定理也可以通过共边定理来证明.证明如下：
,即
即
这样说明了一个什么问题呢?即用梅涅劳斯定理证明的题目均可以使用共边定理来进行证明,有时只是解答复杂的问题,但是一定可以做出,而共边定理的本质即是三角形的面积比例,这应该算是一个非常基本的定理,下面我举一例子加以说明.
例一：（如图二）
P为⊙O外一点,PA、PB分别切⊙O于A、B,C为⊙O上一点,过C作⊙O切线,分别交PA、PB于E、F,OC交AB于L,LP交EF于D,证明D为EF的中点.（1991年四川队题）
证明：
等于
∴DE等于DF #
由此可以发现这道题可以用共边定理一口气解决.但是对于竞赛,许多同学感到困惑,这个是怎么想到的呢?难道是天分吗?不对,这其中是有小技巧的.
从题目中,我们可以得到：A、B是圆上的两任意点,这两个点是没有任何限制的,因此可以理解为初始点,记做“0”,而P点是过B、C两切线的交点,只要BC位置确定,P点即确定,其中P和AB的关系为∠PBO等于∠PAO等于90°,即PB等于PA,∴P由初始点确定,P也记做“0”级.C为任意点,∴C记做“0”级,L由CO,AB确定,∵C、O、A、B均为初始点,∴L为“1”级,E、F由PB和PA和C点确定,∴E、F为“1”级,而D点由PL、EF确定,∴将D点记做“2”级,题目即证：DE等于DF,不难发现,D为本题中最复杂的点,而题目正是要证明这东西的相关性质,利用共边定理,从D点出发一步一步还原,消去点D,当还原到基本点时,结果必定可以约掉,若约不掉,则题目有问题,下面举一例子加以说明.
例二：在△ABC中,D为BC上任一点,O为△ABC内任一点,BO交AC于N,CO交AB于M,DO交BA于E,AD交BN于F,MG交EN于G,证明G在BC上.
证明：“0”级的点：A、B、C、D、O
“1”级的点：M、N、E
“2”级的点：F
“3”级的点：G
∴从G开始消去,题目可以这样理解,MF交BC于G,EN交BC于G",只需证明即证毕.（这样就将共线问题转化成线段的比例问
题,就可以考虑使用共边定理）
①
②
联立①②即证明：
即即
（先消去C,再消去E、F,由于M、N在AB,AC上,非常容易表达,故最后消去M、N）.由于共边定理是利用的面积比,而在三角形的面积公式中一个为,这样便和一个三角形的角度结合起
来.因为共边定理仅是边之间的转化,不易解决角之间的问题,利用此公式便可和角度产生联系,同时在三角函数中正弦定理可以实现边角转化,下面举一三角函数相结合的例子.
例三：如图四,三角形ABC中,BF⊥AC,CE⊥AB,D哦BC的中点,DE交AC于M,DF交BE于N,O为ΔABC的圆心,H为垂心,延长OH,做AI⊥OH于I,证明M、I、A、N四点共圆.
证明：M、I、A、N四点共圆
∵
∴E、I、A、F、H五点共圆
∴
∴ 证
证
∴考虑证明
即证明
一方面：
对ΔBHO和ΔCHO考虑使用正弦定理
则 ①
另一方面：的比例转化,考虑ΔMDF和ΔNED
②
结合①②,只需证
③
而
同理,原③式得证#
本题证明四点共圆不必多说.转化到边比例之后可以考虑共边定理,但是涉及到许多的角度,故用共边定理转化具有一定的难度,所以可以考虑用三角的相关知识去解题,在这之中,同样可以考虑消点的思想,尽量将复杂的边转化到基础的边上,如,当观
察到时,问题便基本解决了,若观察不出,则也可以按例二的方式逐步消定.
参考文献
[1]张景中 《新概念几何》 中国儿童新闻出版总社2004.5
[2]马洪炎 《平面几何》 浙江大学出版社2007.6
[3]范端喜 邓博文 《奥林匹克小丛书之平面几何》 华东师范大学出版社 2013.1
作者简介
李昊然（2000-）,男,重庆人,西南大学附属中学高中2018级10班应届学生,获得2017年9月全国数学联赛二等奖获得者.
结论：关于本文可作为相关专业平面几何论文写作研究的大学硕士与本科毕业论文高中平面几何定理论文开题报告范文和职称论文参考文献资料。
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