海伦公式证明两个推论,此文是一篇海伦公式论文范文,为你的毕业论文写作提供有价值的参考。
海伦公式论文参考文献：
[摘 要] 高中数学教师在教学中容易轻视教材,把资料书作为教学的核心素材,这种做法明显欠妥. 笔者运用教材中“海伦和秦九昭”的阅读内容,激发学生的探知 ,提高学生数学抽象、逻辑推理以及数学运算能力.
[关键词] 海伦公式；秦九昭公式；三角形面积
笔者所在地区使用的高中数学教材为人教A版,在必修五教材的第一章内容中有关于“海伦和秦九昭”的阅读和思考内容. 既然是阅读和思考,往往未受到教师和学生的重视. 但是,此部分内容对于学生了解数学史、提高数学素养都是极好的材料,甚至也可以丰富学生解题思路和技巧.
海伦—秦九昭公式
在解三角形的问题中,一个比较困难的问题是如何由三角形的三边a,b,c直接求出三角形的面积. 据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到公式S等于 ,其中p等于 （a+b+c）. 但是现在人们常常以古希腊的数学家海伦命名这个公式,称此公式为海伦公式. 其实,我国南宋时期的数学泰斗秦九韶编撰的《数书九章》一书的卷五中曾记载过“三斜求积术”,秦九韶的算法相当于：S等于 ,其中a≥b≥c. 它虽然和海伦公式形式上不一样,但两者是完全等价的,实质是一样的. 故海伦公式也称之为“海伦—秦九韶公式”.
海伦公式的证明
笔者以思考题的形式要求学生阅读此部分内容,并用自己的方法证明海伦公式. 学生的证明方法主要有以下两种.
方法1：△ABC的三边长分别为a,b,c,则有三角形的面积公式可得S等于 absinC等于 ab ,再由余弦定理可得S等于 ab
化简得S等于 ,令p等于 （a+b+c）,于是有
S等于 ,海伦公式得证.
方法2：如图1,△ABC的三边长分别为a,b,c,AD为边BC的高. 又因为BD等于ccosB等于 ,所以,AD2等于AB2-BD2等于c2- .
由于S等于 ·BC·AD等于 a· 等于 ,
可由平方差公式化简可得S等于 · ,令p等于 （a+b+c）,于是有S等于 ,海伦公式得证.
点评：学生以上的两种种证明方法思路简单,利用所学求三角形面积的基本知识,以及余弦定理,将角度转化为边长,这样可以使得最后推证的公式中无角度,只存在边长,化简过程較复杂,需要学生细致、耐心的计算,有助于培养学生的转化思想、计算能力和逻辑推理能力.
第二种证明方法需要说明：图1中的高AD在三角形的内部,根据三角形知识可知,若是过钝角三角形中的锐角顶点作对边的高,则此时高AD则会在三角形的外部（如图2）,那么此时BD等于ccos（π-B）等于 ,也可推证出海伦公式. 也可理解为：即使△ABC为非锐角三角形,过最大内角作对边的高,那么此时高一定在三角形内部,按照此种证明方法海伦公式也可得证.
海伦公式的两个推论
推论1：已知三角形的三边长为a,b,c,设p等于 （a+b+c）,可得三角形的内切圆半径r等于 .
证明：如图3,圆O为△ABC的内切圆,内切圆半径为r,则有
S△ABC等于S△AOB+S△BOC+S△AOC等于 cr+ ar+ br.
由海伦公式可得S△ABC等于 等于 （a+b+c）r等于pr,证得
r等于 .
推论2：设边AB,BC,CA上的高分别记为hc,ha,hb,可得
ha等于 ,hb等于 · ,
hc等于 .
证明：因为S△ABC等于 ah 等于 ,可证得
ha等于 ,同理可证推论2成立.
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